Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．
（2）利用函数解析式可求得f（-x）=-f（x），进而判断出函数为奇函数．
（3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|-1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知

x+1

1-x

＞1进而求得x的范围．

解答：解：（1）f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），则

x+1＞0 1-x＞0

解得-1＜x＜1．
故所求定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）f（x）为奇函数
由（1）知f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
故f（x）为奇函数．
（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|-1＜x＜1}内是增函数，
所以f(x)＞0?

x+1

1-x

＞1．
解得0＜x＜1．
所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．

点评：本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握．