题目内容
已知椭圆C：
的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
以抛物线
的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线
异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由题设条件知：PF1|+|PF2|=2a=4，所以椭圆C1：
．设C2：
，由相似比为2可求出椭圆C2的方程．（2）由题设条件知
，设点Q（x，y），由题设条件能推出
，
由此可知点Q在双曲线4x2-4y2=1上．
（3）椭圆C1：
，相似比为b，则椭圆Cb的方程为：
．由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x1，y1），D（x2，y2）
，然后利用根与系数的关系进行求解．
解答：解：（1）椭圆的一个焦点为
，|PF1|+|PF2|=2a=4，所以椭圆C1：
设C2：
，相似比为2，a2=4；b2=2，所以椭圆C2：
（2）点P（m，n）在椭圆上，则
，设点Q（x，y）
（7分）
，
所以点Q在双曲线4x2-4y2=1上
（3）椭圆C1：
，相似比为b，则椭圆Cb的方程为：
（11分）
由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x1，y1），D（x2，y2）
△=64m2-16×5×（m2-b2）＞0⇒5b2＞m2（13分）
由韦达定理知：
，
E（x，y）在直线y=x+1上，则
，所以
（15分）
此时正方形的边长为
，所以正方形的面积为
所以
点评：本题综合考查椭圆的性质及其综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．
．设C2：，由相似比为2可求出椭圆C2的方程．（2）由题设条件知，设点Q（x，y），由题设条件能推出，由此可知点Q在双曲线4x2-4y2=1上．
（3）椭圆C1：
，相似比为b，则椭圆Cb的方程为：．由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x1，y1），D（x2，y2），然后利用根与系数的关系进行求解．解答：解：（1）椭圆的一个焦点为
，|PF1|+|PF2|=2a=4，所以椭圆C1：设C2：
，相似比为2，a2=4；b2=2，所以椭圆C2：（2）点P（m，n）在椭圆上，则
，设点Q（x，y）（7分），所以点Q在双曲线4x2-4y2=1上
（3）椭圆C1：
，相似比为b，则椭圆Cb的方程为：（11分）由题意：只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x1，y1），D（x2，y2）
△=64m2-16×5×（m2-b2）＞0⇒5b2＞m2（13分）由韦达定理知：
，E（x，y）在直线y=x+1上，则，所以（15分）此时正方形的边长为
，所以正方形的面积为所以
点评：本题综合考查椭圆的性质及其综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．
练习册系列答案
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如图所示，F1，F2分别为椭圆C：
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相切.
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的离心率为
，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6.
：
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，求直线