Question

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=-1，求f（x）的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f(x)＜-g(x)-

1

2

；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最大值是-3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函数导函数，求出导函数的符号，判断出函数的单调性，求出函数的极值．
（2）构造函数h（x），通过导数，求出导函数的符号，求出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得到要证的不等式．
（3）求出导函数，通过对a与区间的讨论，求出函数的单调性，求出函数的最大值，令最大值为-3，列出方程求出a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x+lnx，
f?（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
∴当1＜x＜e时，f?（x）＜0，此时f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f?（x）＞0，此时f（x） 单调递增，
∴f（x）的极大值为f（1）=-1．
（2）∵f（x）的极大值即f（x）在（0，e]上的最大值为-1
令h（x）=-g(x)-

1

2

=-

lnx

x

-

1

2

，
∴h/(x)=

lnx-1

x2

，
∴当0＜x＜e时，h?（x）＜0，且h（x）在x=e处连续
∴h（x）在（0，e]上单调递减，
∴h（x）_min=h（e）=

1

e

-

1

2

＞-1=f（x）_max
∴当x∈（0，e]时，f(x)＜g(x)-

1

2

（3）假设存在实数a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，
f?（x）=a+

1

x

，
①当a≥-

1

e

时，由于x∈（0，e]，则f?（x）=a+

1

x

≥0且f（x） 在x=e处连续
∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．
②当a＜-

1

e

时，
则当-

1

a

＜x＜e时，f?（x）=a+

1

x

＜0，此时f（x）=ax+lnx 是减函数，
当0＜x＜-

1

a

时，f?（x）=a+

1

x

＞0此时f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函数，
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-3，解得a=-e²．
由①、②知，存在实数a=-e²，使得当x∈（0，e]，时f（x）有最大值-3．

点评：解决函数的极值问题常用的是导函数在极值点处的值为0；证明不等式时常转化为构造函数求函数的最值．