Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₃+S₆=2S₉，求数列的公比q．

Answer 1

分析：先假设q=1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S₃+S₆=2S₉得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．

解答：解：若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
但a₁≠0，即得S₃+S₆≠2S₉，与题设矛盾，q≠1．
又依题意S₃+S₆=2S₉
可得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q9)

1-q

整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．
（2q³+1）（q³-1）=0，
∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0
∴q=-

3 4

2

．

点评：本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题．