Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点．

(1)求证：PB∥面EFG；

(2)求异面直线EG与BD所成的角；

(3)在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8．若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)证明：取AB中点H，连结GH，HE， 　　∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点， 　　∴GH∥AD∥EF， 　　∴E，F，G，H四点共面．……1分 　　又H为AB中点， 　　∴EH∥PB．……2分 　　又面EFG，平面EFG， 　　∴PB∥面EFG．……3分 　　(2)解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD， 　　∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角．……4分 　　在Rt△MAE中，， 　　同理，……5分 　　又， 　　∴在Rt△MGE中，……6分 　　故异面直线EG与BD所成的角为．……7分 　　(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，则QR∥AD． 　　∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2， 　　∴AD⊥AB，AD⊥PA， 　　又AB∩PA＝A， 　　∴AD⊥平面PAB．……8分 　　又∵E，F分别是PA，PD中点， 　　∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB 　　又面EFQ， 　　∴面EFQ⊥平面PAB．……9分 　　过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ， 　　∴AT就是点A到平面EFQ的距离．……10分 　　设CQ＝x(0≤x≤2)，则BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1， 　　在Rt△EAR中，……11分 　　解得． 　　故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为0.8……12分 　　解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 　　则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 　　(1)证明：∵， 　　，……1分 　　设，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1) 　　解得s＝t＝2． 　　∴，又∵与不共线，∴、与共面．……2分 　　∵平面EFG，∴PB∥平面EFG．……3分 　　(2)解：∵，，……4分 　　∴．……6分｀ 　　故异面直线EG与BD所成的角为．……7分 　　(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m， 　　∴点Q的坐标为(2－m，2，0)，∴．……8分 　　而，设平面EFQ的法向量为，则 　　 　　∴． 　　令x＝1，则．……9分 　　又， 　　∴点A到平面EFQ的距离……10分 　　即，∴或不合题意，舍去． 　　故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为0.8……12分