Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B₁在底面上的射影D落在BC上，
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若AB₁⊥BC₁，D为BC的中点，求α；
（3）若α=arccos，AC=BC=AA₁时，求二面角C₁-AB-C的大小。

Answer 1

解：（1）∵B₁D⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩B₁D=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵AC⊥平面BB₁C₁C，AB₁⊥BC₁，
由三垂线定理可知，B₁C⊥BC₁，
∴平行四边形BB₁C₁C为菱形，
此时，BC=BB₁，
又∵B₁D⊥BC，D为BC中点，B₁C=B₁B，
∴△BB₁C为正三角形，
∴∠B₁BC=60°，即α=60°；
（3）过C₁作C₁E⊥BC于E，则C₁E⊥平面ABC，
过E作EF⊥AB于F，连结C₁F，
由三垂线定理，得C₁F⊥AB，
∴∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角，
设AC=BC=AA₁=a，在Rt△CC₁E中，
由∠C₁BE=α=，C₁E=a，
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=，
∴∠C₁FE=45°，
故所求的二面角C₁-AB-C为45°。