题目内容
如图，四边形ABCD中，E，F分别为AC、BD的中点，设向量| a |
| b |
| c |
| AB |
| b |
| a |
| CD |
| c |
| a |
（1）若
| a |
| b |
| c |
（2）试用
| AB |
| CD |
| EF |
（3）若β为自变量，求|
| EF |
分析：（1）由
⊥(
-2
)可得
•(
-2
)=0，将题中向量
、
、
的坐标代入并利用三角恒等变换公式化简整理，可得sin（α+β）-2cos（α+β）=0，即可求得tan（α+β）的值；
（2）根据E、F分别为AC、BD的中点，利用向量线性运算法则法进行化简，即可得到
=
(
+
)；
（3）由（2）得
=
(
+
)=（kcosβ+sinβ，4cosβ-4ksinβ），根据向量模的公式结合三角恒等变换公式化简得|
|2=
（k2+1）-
[2ksin2β-（1-k2）cos2β]，而2ksin2β-（1-k2）cos2β=（1+k2）sin（2β-θ）（其中tanθ=
），由此可得|
|2的最小值为1+k2，从而得到|
|的最小值f（k）=
．
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
（2）根据E、F分别为AC、BD的中点，利用向量线性运算法则法进行化简，即可得到
| EF |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| CD |
（3）由（2）得
| EF |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| CD |
| EF |
| 17 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
| 1-k2 |
| 2k |
| EF |
| EF |
| 1+k2 |
解答：解：（1）由题意，可得
∵
=(4cosα，sinα)，
=（sinβ，4cosβ），
=（cosβ，-4sinβ），
∴
-2
=(sinβ，4cosβ)-(2cosβ，-8sinβ)=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）
∵
⊥(
-2
)，
∴
•(
-2
)=4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
整理，可得sinβcosα-2cosαcosβ+sinαcosβ+2sinαsinβ=0，
即sin（α+β）-2cos（α+β）=0
∴tan（α+β）=
=2．
（2）连结AF，由题意可得
=
-
=
(
+
)-
=
(
+
-
)
∵
-
=
，
∴
=
(
+
-
)=
(
+
)；
（3）∵
=2
-
=2（sinβ，4cosβ）-（4cosα，sinα）=（2sinβ-4cosα，8cosβ-sinα），
=2k
+
=2k（cosβ，-4sinβ）+（4cosα，sinα）=（2kcosβ+4cosα，sinα-8ksinβ），
∴
=
(
+
)=（kcosβ+sinβ，4cosβ-4ksinβ）
可得|
|2=（kcosβ+sinβ）2+（4cosβ-4ksinβ）2=（k2+16）cos2β-30ksinβcosβ+（1+16k2）sin2β
∵cos2β=
（1+cos2β），sin2β=
（1-cos2β），sinβcosβ=
sin2β，
∴|
|2=
（k2+16）（1+cos2β）-15ksin2β+
（1+16k2）（1-cos2β）
=
（k2+1）-
[2ksin2β-（1-k2）cos2β]，
∵2ksin2β-（1-k2）cos2β=
sin（2β-θ）=（1+k2）sin（2β-θ），（tanθ=
）
∴当sin（2β-θ）=1时，2ksin2β-（1-k2）cos2β有最大值为1+k2，
由此可得|
|2=
（k2+1）-
[2ksin2β-（1-k2）cos2β]的最小值为
（k2+1）-
（k2+1）=k2+1．
因此，|
|的最小值为f（k）=
．
∵
| a |
| b |
| c |
∴
| b |
| c |
∵
| a |
| b |
| c |
∴
| a |
| b |
| c |
整理，可得sinβcosα-2cosαcosβ+sinαcosβ+2sinαsinβ=0，
即sin（α+β）-2cos（α+β）=0
∴tan（α+β）=
| sin(α+β) |
| cos(α+β) |
（2）连结AF，由题意可得
| EF |
| AF |
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AB |
| AC |
∵
| AD |
| AC |
| CD |
∴
| EF |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| CD |
（3）∵
| AB |
| b |
| a |
| CD |
| c |
| a |
∴
| EF |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| CD |
可得|
| EF |
∵cos2β=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴|
| EF |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 17 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
∵2ksin2β-（1-k2）cos2β=
| 4k2+(1-k2)2 |
| 1-k2 |
| 2k |
∴当sin（2β-θ）=1时，2ksin2β-（1-k2）cos2β有最大值为1+k2，
由此可得|
| EF |
| 17 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
| 17 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
因此，|
| EF |
| k2+1 |
点评：本题主要考查了平面向量的数量积公式及其运算性质、向量模的公式、向量的线性运算法则和三角恒等变换公式等知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
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