Question

根据下列条件，确定数列{a_n}的通项公式．
（1）a₁=1，a_n+1=3a_n+2；    
（2）a₁=1，a_n=

n-1

n

an-1(n≥2)；
（3）已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n+3n+2，且a₁=2，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列递推式构造等比数列{a_n+1}，求其通项公式后得到数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列递推式中分别取n=1，2，…，n-1，然后累积得答案；
（3）把给出的数列递推式变形，然后利用累加法求得数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=3，
∴数列{a_n+1}为等比数列，公比q=3，
又a₁+1=2，
∴a_n+1=2•3^n-1，
∴a_n=2•3^n-1-1；
（2）∵a_n=

n-1

n

a_n-1（n≥2），
∴a_n-1=

n-2

n-1

a_n-2，…，a₂=

1

2

a₁．
以上（n-1）个式子相乘得：
a_n=a₁•

1

2

•

2

3

•…•

n-1

n

=

a1

n

=

1

n

；
（3）∵a_n+1-a_n=3n+2，
∴a_n-a_n-1=3n-1（n≥2），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=

n(3n+1)

2

（n≥2）．
当n=1时，a₁=

1

2

×（3×1+1）=2符合公式，
∴a_n=

3

2

n²+

n

2

．

点评：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a_n=a_n-1+m时，构造等差数列；当出现a_n=xa_n-1+y时，构造等比数列；当出现a_n=a_n-1+f（n）时，用累加法求解；当出现

an

an-1

=f（n）时，用累乘法求解，是中档题．