题目内容
【题目】已知函数(),.
(1)若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值;
(2)若,试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究值的个数;,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线,当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.
【解析】试题分析:(1)当时, ,得到,依题意,即可求解的值;(2)假设的图象在其公共点处存在公切线,分别求出导数,令,得,讨论,分别, ,令,研究方程解的个数,可构造函数,运用都是求出单调区间,讨论函数的零点个数即可判断.
试题解析:(1)当时, ,∴ ,
依题意得,∴ .
(2)假设函数与的图象在其公共点处存在公切线,
∵,∴ ,∴ , ,
由得,即,
∴,故.
∵函数的定义域为,
当时, ,∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线;
当时,令,
∵, ,
∴,即().
下面研究满足此等式的的值的个数:
设,则,且,方程化为,
分别画出和的图象,
当时, , ,
由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点(且均符合),
∴方程有且只有两个根.
综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线;当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.
点晴:本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题,其中解答中涉及到了利用导数求解曲线在某点处的切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用函数的性质解决不等式、方程问题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中认真审题,注意导数在函数中的合理应用,试题有一定的难度,属于难题.
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
频数 | 1 | 4 | 19 | 20 | 5 | 1 |
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(1)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |||||||||||||
合格品 | |||||||||||||||
不合格品 | |||||||||||||||
合计 | ,求的期望. 附:
. |