题目内容

【题目】已知函数),.

1)若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值;

2)若,试探究函数的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究值的个数;,若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2)当时,函数的图象在其公共点处不存在公切线,当时,函数的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.

【解析】试题分析:(1)当时, ,得到,依题意,即可求解的值;(2)假设的图象在其公共点处存在公切线,分别求出导数,令,得,讨论,分别 ,令,研究方程解的个数,可构造函数,运用都是求出单调区间,讨论函数的零点个数即可判断.

试题解析:(1)当时,

依题意得 .

2)假设函数的图象在其公共点处存在公切线,

,即

,故.

函数的定义域为

时, 函数的图象在其公共点处不存在公切线;

时,令

,即.

下面研究满足此等式的的值的个数:

,则,且,方程化为

分别画出的图象

时,

由函数图象的性质可得的图象有且只有两个公共点(且均符合),

方程有且只有两个根.

综上,当时,函数的图象在其公共点处不存在公切线;当时,函数的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.

点晴本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题,其中解答中涉及到了利用导数求解曲线在某点处的切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用函数的性质解决不等式、方程问题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中认真审题,注意导数在函数中的合理应用,试题有一定的难度,属于难题.

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【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.

表1:甲套设备的样本的频数分布表

质量指标值

[95,100)

[100,105)

[105,110)

[110,115)

[115,120)

[120,125]

频数

1

4

19

20

5

1

图1:乙套设备的样本的频率分布直方图

(1)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;

甲套设备

乙套设备

合计

合格品

不合格品

合计

,求的期望.

附:

P(K2k0)

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

.

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