Question

【题目】椭圆（）的离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线和分别交于两点，试探究以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）以线段为直径的圆恒过定点，且定点为

【解析】

（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即的关系可得椭圆的标准方程；

（2）设，则由消去得关于的二次方程，根据判别式等于得，另外先求出点，，则可求出以线段为直径的圆的方程，整理得，将代入即可求出定点.

解：（1）由题意设椭圆的方程为（），
因为抛物线的焦点坐标为，则，
由，得
∴椭圆的方程为；

（2）明显直线的斜率存在，

设，

则由，消去得，

，

整理得，

又由，得，

由，得，

所以以线段为直径的圆为，

整理得，

将代入得，

当时，，

所以以线段为直径的圆恒过定点，且定点为.