Question

若关于x的方程4^x-k•2^x+k+3=0无实数解，求k的取值范围．

Answer 1

分析：先对方程进行换元，将方程变为一元二次方程无正解的问题，再对方程无解的问题进行分类讨论求参数的范围即可

解答：解：设t=2^x＞0，原方程即为t²-kt+k+3=0（t＞0）
原方程无解?t²-kt+k+3=0无正解（1分）
（1）t²-kt+k+3=0无解?△=k²-4（k+3）=k²-4k-12＜0?-2＜k＜6（3分）
（2）t²-kt+k+3=0有两负解或一负解一解为0（4分）
?

△=k2-4k-12≥0 x1+x2=k≤0 x1x2=k+3≥0

?-3≤k≤-2（8分）
综上-3≤k＜6（9分）

点评：本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是用换元法将指数方程变为一元二次方程，然后再依据一元二次方程的性质转化成关于参数的不等式组求参数，本题对转化化归的能力要求较高．