Question

已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f??(x)＝6x－2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，S_n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；（Ⅱ）设b_n＝，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m；

Answer 1

(Ⅰ) a_n＝6n－5（n∈N*）   (Ⅱ) 10

解析:

（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²＋bx (a≠0) ，则 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，

         得a＝3 ，b＝－2，所以f(x)＝3x²－2x.，又因为点(n，S_n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，所以S_n＝3n²－2n，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5（n∈N*）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知b_n＝＝＝(－)，

故T_n＝,\s\up5(ni=1b_i＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–），

因此，要使(1－）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.