Question

若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

4

．

Answer 1

分析：依题意，先作差（ax+by）（ay+bx）-ab后化积即可证得ab≤（ax+by）（ay+bx），再利用基本不等式对（ax+by）（ay+bx）放缩，即可证得（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

4

，从而原结论可证．

解答：证明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a²xy+b²xy+abx²+aby²-ab
=xy（a²+b²）+ab（x²+y²-1）
=xy（a²+b²）+ab[（x+y）²-2xy-1]．
∵a、b、x、y均为正实数，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a²+b²）-2abxy
=xy（a-b）²≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[

(ax+by)+(ay+bx)

2

]2=[

a(x+y)+b(x+y)

2

]2=(

a+b

2

)2=

(a+b)2

4

．
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

4

．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法与放缩法的综合应用，考查推理证明的能力，属于中档题．