题目内容
已知函数f（x）=
ax2+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数的单调减区间．
（2）若函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
a=2时，
=
，
∵x＞0，
∴x＞1时，f′（x）＞0，函数单调增；
0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调减，∴函数的单调减区间为（0，1）；
（2）求导函数可得
=
令f′（x）＞0，则∵x＞0，∴ax2-ax-1＞0
∵y=ax2-ax-1对应二次函数的对称轴为x=，函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，
∴a＞0．
分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）求导数，利用导数大于0，结合函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导是关键．
a=2时，
=，∵x＞0，
∴x＞1时，f′（x）＞0，函数单调增；
0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调减，∴函数的单调减区间为（0，1）；
（2）求导函数可得
=令f′（x）＞0，则∵x＞0，∴ax2-ax-1＞0
∵y=ax2-ax-1对应二次函数的对称轴为x=
，函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，∴a＞0．
分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）求导数，利用导数大于0，结合函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导是关键．
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