Question

在△ABC中，已知内角A=

π

3

．边BC=2

3

设内角B=x，△ABC的面积为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理把边AC和AB用含x的代数式表示，然后代入面积公式

1

2

AB•ACsinA，求y，由三角形内角和定理得定义域；
（Ⅱ）把函数解析式展开两角差的正弦，然后整理化为Asin（ωx+φ）+k的形式，由角x的范围求值域．

解答：解：（Ⅰ）△ABC的内角和A+B+C=π，
∵A=

π

3

由正弦定理得，AC=

BC

sinA

sinB=4sinx，
AB=

BC

sinA

sinC=4sin(

2π

3

-x)，
∴y=

1

2

AB•ACsinA=4

3

sinxsin(

2π

3

-x) (0＜x＜

2π

3

)；
（Ⅱ）y=4

3

sinxsin(

2π

3

-x)=4

3

sinx(

3

2

cosx+

1

2

sinx)
=6sinxcosx+2

3

sin2x
=3sin2x+2

3

•

1-cos2x

2

=3sin2x-

3

cos2x+

3

=2

3

(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+

3

=2

3

sin(2x-

π

6

)+

3

．
∵0＜x＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2x-

π

6

)≤1，
∴0＜y≤3

3

，
即值域为 (0，3

3

]．

点评：本题考查了正弦定理得应用，考查了两角和与差的三角函数，训练了与正弦函数有关的复合函数值域的求法，是中档题．