题目内容

已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0.
(1)求f(1);              
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.
分析:(1)由已知中f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1,可得f(1)的值;
(2)由f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),可得f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
),结合x∈(0,1)时,f(x)<0.及增函数的定义可证得结论
(3)令x1=x2=4,可得f(16)=2,x1=4,x2=16,可得f(64)=3,结合f(x)的定义域为(0,+∞),f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),及(2)中函数的单调性,可将不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3转化为一个关于x的不等式组.本题考查的知识点是抽象函数及其应用
解答:解:(1)∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,
f(1•1)=f(1)+f(1),
则f(1)=0(2分)
(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2
∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
∴则f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2

∵0<x1<x2
∴0<
x1
x2
<1,又当x∈(0,1)时,f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数(7分)
(3)令x1=x2=4,则f(16)=f(4)+f(4)=2,
令x1=4,x2=16,则f(64)=f(4)+f(16)=3(9分)
∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64)
结合f(x)的定义域为(0,+∞),f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)恒成立
3x+1>0
2x-6>0
(3x+1)(2x-6)≤64

∴x∈(3,5](12分)
点评:本题考查的是抽象函数及其应用,函数的单调性证明,以及赋值法的应用,属于中档题,在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识.值得同学们体会和反思.
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