Question

如果a、b、c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一正根和一个负根的

充分必要条件

条件．

Answer 1

分析：利用韦达定理和根与系数的关系先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．

解答：解：若P：ac＜0，成立，则判别式△=b²-4ac＞0且两个根 x1•x2=

c

a

＜0，
所以q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根成立；
反之，若q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根成立即个根 x1•x2=

c

a

＜0，
所以P：ac＜0成立
所以P：ac＜0，是q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件
故答案为：充分必要条件

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程的根与系数的关系，本题解题的关键是正确应用根与系数的关系来说明根的情况，是一个中档题目．