题目内容
【题目】如图，已知圆
：
经过椭圆
：
（
）的左右焦点
，
，与椭圆
在第一象限的交点为
，且
，
，
三点共线．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设与直线
（
为原点）平行的直线
交椭圆
于
，
两点．当
的面积取到最大值时，求直线
的方程．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由
，
，
三点共线可知
为圆
的直径，从而可得
，在圆方程中令
求出
即
，由勾股定理可求得
，由椭圆定义求出
的值即可；（Ⅱ）设直线
的方程为
，联立方程组，由弦长公式求出
，由点到直线的距离公式求出
到直线
的距离
，求出三角形面积表达式
，由基本不等式求最值及取得最值时
的值即可.
试题解析：（Ⅰ）
，，三点共线，
为圆的直径，且，
．
由
，
得
，
…（2分）
，
，
．（3分）
，
，………（4分）
椭圆
的方程为．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点
的坐标为
，
直线
的斜率为
（6分）
故设直线的方程为，
联立
得，
…………（7分）
设
，
，
，
，
，
．……（8分）
又
……（9分）
点到直线的距离（10分）
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时直线
的方程为．…………（12分）
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