Question

已知f(x)是偶函数，x∈R，若将f(x)的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f(2)=-1，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 006)等于

A.-1 003               B.1 003                C.1                 D.-1

Answer 1

D 

解析：解法一：构造特殊函数f(x)=cos满足题中条件，易得f(x)是周期为4的函数，f(1)=0,

f(2)=-1,f(3)=0,f(4)=1,

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

∵2 006=501×4+2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 006)=f(1)+f(2)=-1.

解法二：由题意得f(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1),进一步可得到f(x+1)=-f(x-1),

f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x)，从而知f(x)的周期为4，且f(1)=0,f(2)=-1,f(3)=0,

f(4)=1,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

∵2 006=501×4+2,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 006)=f(1)+f(2)=-1.