题目内容
设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f∥（x）＞0成立（f∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有
①f（x）=
，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x1，x2∈（0，
）且x1≠x2，则有tan(
)＞
(tanx1+tanx2)
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0）
④f（x）=
x3+sinx，（x∈（
，
））是严格下凸函数．
①④
①④
．①f（x）=
| 2x+2014 |
| 3x+7 |
②设x1，x2∈（0，
| π |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0）
④f（x）=
| 1 |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
分析：根据严格下凸函数的充要条件，求f∥（x）＞0恒成立即可．
解答：解：①因为f（x）=
=
=
+
，所以f'（x）=-
=-
，
所以f∥（x）=
，当x∈[0，2014]时，f∥（x）＞0恒成立，所以①正确．
②若x1=
，x2=
，则
(tanx1+tanx2)=
(tan
+tan
)=
(
+
)=
，而
(tan?
=tan?
)=tan?
=1，
所以有tan(
)＞
(tanx1+tanx2)不成立，所以②错误．
③因为f（x）=x2为严格下凸函数，则f'（x）=2x，f∥（x）=2＞0恒成立，当x0=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
④若f（x）=
x3+sinx，则f'（x）=
x2+cosx，f∥（x）=x-sinx，当x∈[
，
]，设y=x-sinx，则y'=1-cosx≥0，所以函数f∥（x）=x-sinx单调递增，
所以f∥（
）=
-sin
=
-
＞0），所以f（x）=
x3+sinx，（x∈（
，
））是严格下凸函数，所以④正确．
故答案为：①④．
| 2x+2014 |
| 3x+7 |
| ||||
| 3x+7 |
| 2 |
| 3 |
| 6028 |
| 9x+21 |
| 6028×9 |
| (9x+21)2 |
| 6028 |
| (3x+7)2 |
所以f∥（x）=
| 2×3×6028 |
| (3x+7)3 |
②若x1=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| ||||
| 2 |
| π |
| 4 |
所以有tan(
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③因为f（x）=x2为严格下凸函数，则f'（x）=2x，f∥（x）=2＞0恒成立，当x0=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
④若f（x）=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
所以f∥（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
故答案为：①④．
点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的运算能力，综合性较强．正确理解新定义是解决本题的关键．
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