Question

16．已知圆O：x²+y²=4，直线l：mx+y-m-$\sqrt{3}$=0．
（1）直线l恒过定点P，求点P的坐标及原点O到直线l的距离的最大值．
（2）当m=$\sqrt{3}$时，判断直线l与圆O是否相交？若相交，求相交弦的长度．

Answer 1

分析 （1）直线l：mx+y-m-$\sqrt{3}$=0可化为m（x-1）+y-$\sqrt{3}$=0，可得定点P的坐标及原点O到直线l的距离的最大值．
（2）当m=$\sqrt{3}$时，原点到直线$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0的距离d=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$＜2，直线l与圆O相交，利用勾股定理求相交弦的长度．

解答 解：（1）直线l：mx+y-m-$\sqrt{3}$=0可化为m（x-1）+y-$\sqrt{3}$=0，
令x-1=0，可得y-$\sqrt{3}$=0，
∴x=1，y=$\sqrt{3}$，
∴直线l恒过定点P（1，$\sqrt{3}$），原点O到直线l的距离的最大值为|OP|=2；
（2）原点到直线$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0的距离d=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$＜2，∴直线与圆相交，
弦长2$\sqrt{4-3}$=2．

点评 本题考查直线过定点，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．