Question

19．如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PD⊥平面ABCD，AD=AB=PD=3，BC=1，过AD作一平面分别相交PB，PC于电E，F
（Ⅰ）求证AD∥EF
（Ⅱ）设BE=$\frac{1}{3}$BP，求AE于平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，根据线面平行的判定定理及性质定理即可证出AD∥EF；
（Ⅱ）在平面PAD内过A作AG⊥AD，这样即可说明AB，AD，AG三直线两两垂直，从而可以A为坐标原点，AB，AD，AG所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．这样即可求出向量$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BC}$的坐标，从而可求出平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$，而根据BE=$\frac{1}{3}$BP即可求出点E的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{AE}$的坐标，若设直线AE和平面PBC成的角为θ，则根据sinθ=|$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}＞$|即可求得θ的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC；
∴AD∥平面PBC；
又AD?平面ADFE，平面PBC∩平面ADFE=EF；
∴AD∥EF；
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PAD；
∴平面PAD⊥平面ABCD；
如图，在平面PAD内过点A作AG⊥AD，则AG⊥平面ABCD；

∵∠BAD=90°，∴AB，AD，AG三条直线两两垂直；
∴以A为坐标原点，分别以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AG}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，1，0），D（0，3，0），P（0，3，3）；
∴$\overrightarrow{BP}=（-3，3，3）$，$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0）；
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则：
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}_{1}+3{y}_{1}+3{z}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={z}_{1}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1；
∴平面PBC的一个法向量$\overrightarrow{n}=（1，0，1）$；
设点E（x，y，z），由$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BP}$得，
$（x-3，y，z）=\frac{1}{3}（-3，3，3）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$；
∴E（2，1，1）；
∴$\overrightarrow{AE}=（2，1，1）$；
设AE与平面PBC所成角的大小为θ，则：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{n}|}=\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$θ=\frac{π}{3}$；
故AE与平面PBC所成角的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 考查线面平行的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的方法，能求空间点的坐标，以及平面法向量的概念及求法，线面角的概念及范围，两向量夹角余弦的坐标公式．