Question

9．某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品．某位教师二分球的命中率是$\frac{1}{2}$，三分球的命中率是$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求该教师恰好投中四个球的概率；
（Ⅱ）记该教师获得奖品数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，P（ξ=1）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4），P（ξ=2）表示投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球与投三次3分球只投中一次三分球，P（ξ=3）表示投中四个二分球两个三分球，P（ξ=4）表示投中四个二分球与3个三分球，可得ξ的分布列，利用数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，
∴概率是$P=C_4^3×{（\frac{1}{2}）^4}×\frac{1}{3}+{（\frac{1}{2}）^4}×{（\frac{2}{3}）^3}$=$\frac{11}{108}$；
（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，
$P（ξ=2）=C_4^3×{（\frac{1}{2}）^4}×\frac{1}{3}+{（\frac{1}{2}）^4}×C_3^1×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}$=$\frac{1}{9}$，$P（ξ=3）={（\frac{1}{2}）^4}×C_3^2×{（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{72}$，$P（ξ=4）={（\frac{1}{2}）^4}×{（\frac{1}{3}）^3}$=$\frac{1}{432}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=$\frac{377}{432}$．
∴ξ的分布列是

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{377}{432}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{432}$

数学期望是$Eξ=\frac{377}{432}+\frac{2}{9}+\frac{3}{72}+\frac{4}{432}$=$\frac{55}{48}$．

点评 本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．