题目内容
已知
=（1，
），
=（
，-1）．
（1）证明：
⊥
；
（2）若k
-
与3
-k
平行，求实数k；
（3）若k
-
与k
+
垂直，求实数k．
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
（1）证明：
| a |
| b |
（2）若k
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）若k
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）求出两个向量的数量积，由数量积等于0得到两向量垂直；
（2）由向量的数乘和减法的坐标运算求出k
-
与3
-k
的坐标，然后利用向量平行的坐标表示列式求解；
（3）由向量的数乘和加法的坐标运算求出k
-
与k
+
的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解．
（2）由向量的数乘和减法的坐标运算求出k
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）由向量的数乘和加法的坐标运算求出k
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：（1）证明：∵
=（1，
），
=（
，-1）．
∴
•
=(1，
)•(
，-1)=1×
+
×(-1)=
-
=0．
∴
⊥
；
（2）由
=（1，
），
=（
，-1）．
得：k
-
=k(1，
)-(
，-1)=(k-
，
k+1)，
3
-k
=3(1，
)-k(
，-1)=(3-
k，3
+k)．
∵k
-
与3
-k
平行，
∴(k-
)(3
+k)-(3-
k)(
k+1)=0．
解得：k=-
或k=
；
（3）由
=（1，
），
=（
，-1）．
得：k
-
=k(1，
)-(
，-1)=(k-
，
k+1)，
k
+
=k(1，
)+(
，-1)=(k+
，
k-1)．
∵k
-
与k
+
垂直，∴(k-
)(k+
)+(
k+1)(
k-1)=0．
解得：k=-1或k=1．
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| a |
| b |
（2）由
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
得：k
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
3
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∵k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(k-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解得：k=-
| 3 |
| 3 |
（3）由
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
得：k
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
k
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∵k
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解得：k=-1或k=1．
点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的数乘、加法及减法的坐标运算，考查计算能力，是基础题．
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