Question

如图，曲线C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A，B，曲线C₁与抛物线C₂在点A处的切线分别为l₁和l₂，且斜率分别为k₁和k₂．
（I）k₁•k₂是否与p无关？若是，给出证明；若否，给以说明；
（Ⅱ）若l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线C₁与抛物线C₂的方程．

Answer 1

（I）设A(x0，y0)，由

x2

a2

+

y2

b2

=1(b＞a＞0，y≥0)
得y=

b

a

a2-x2

，y′=-

bx

a a2-x2

，
则k1=y′|x=x0=-

bx0

a a2- x 20

…（2分）
由x2=2py(p＞0)得y=

x2

2p

，则k2=y′|x=x0=

x0

p

，
所以k1k2=-

bx0

a a2- x 20

•

x0

p

=-

b x 20

pa a2- x 20

，（※）   …（4分）
又因为

x

20

=2py0，y0=

b

a

a2- x 20

，
则

x 20

2p

=

b a2- x 20

a

，即

x 20

a2- x 20

=

2pb

a

．
代入（※）式得k1k2=-

b x 20

pa a2- x 20

=-

b

pa

•

2pb

a

=-2(

b

a

)2．
可见，k₁•k₂仅与a，b有关，与p无关．   …（6分）
（II）如图，设A(x0，

x 20

2p

)，则x0∈(-a，0)
由（I）知k2=

x0

p

，则l2：y=

x0

p

(x-x0)+

x 20

2p

．…（7分）
又l2过点D(0，-2)，则

x

20

=4p，即x0=-2

p

，
所以A(-2

p

，2)…（8分）
将点A的坐标代入曲线C₁的方程得

4p

a2

+

4

b2

=1．
则a2+b2=(a2+b2)(

4p

a2

+

4

b2

)=4p+4+

4a2

b2

+

4pb2

a2

≥4p+4+8

p

，…（10分）
当且仅当“=”成立时，有

4p a2 + 4 b2 =1 4a2 b2 = 4pb2 a2 4p+4+8 p =9.

…（11分）
解得

p= 1 4 a2=3 b2=6.

所以C1：

x2

3

+

y2

6

=1(y≥0)，C2：x2=

y

2

．…（14分）