Question

（2012•杨浦区二模）如图，椭圆C₁：

x2

4

+y²=1，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（1）求实数b的值；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交与D、E．
①证明：MD•ME=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S₁，S₂．若

S1

S2

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长，可求b的值；
（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，-1），可得k_MAk_MB=-1，从而得证；
②设直线的斜率为k₁，则直线的方程为y=k₁x-1，代入抛物线方程可得x²=k₁x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S₁，同理可得S₂，进而可得比值，由此可得λ的取值范围．

解答：（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2

b

=2              …（3分）
∴b=1                                 …（4分）
（2）①证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx．
与抛物线方程联立，消去y可得x²-kx-1=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根，于是x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．…（7分）
又点M的坐标为（0，-1），所以k_MAk_MB=

y1+1

x1

×

y2+1

x2

=

-k2+k2+1

-1

=-1…（9分）
故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

MD

•

ME

=0                …（10分）
②设直线的斜率为k₁，则直线的方程为y=k₁x-1，代入抛物线方程可得x²=k₁x，解得x=0或x=k₁，则点A的坐标为（k₁，k12-1） …（12分）
同理可得点B的坐标为(-

1

k1

，

1

k12

-1)．
于是S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+k12

|k1|×

1+ 1 k12

×|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

直线的方程为y=k₁x-1，代入椭圆方程，消去y，可得（1+4k12）x²-8k₁x=0，解得x=0或x=

8k1

1+4k12

，则点D的坐标为(

8k1

1+4k12

，

4k12-1

1+4k12

)；    …（14分）
同理可得点E的坐标(

-8k1

4+k12

，

4-k12

4+k12

)
于是S₂=

1

2

|MD||ME|=

32(1+k12)|k1|

(1+4k12)(4+k12)

因此

S1

S2

=

1

64

(4k12+

4

k12

+17)，…（16分）
又由点A，B的坐标可知，k=

k12- 1 k12

k1+ 1 k1

=k1-

1

k1

，平方后代入上式，
所以λ=

4k2+25

64

≥

25

64

故λ的取值范围为[

25

64

，+∞）．                               …（18分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．