题目内容
已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N＋)．
(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；
(2)若数列{cn}满足cn＝
，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3.
(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；
(2)若数列{cn}满足cn＝
，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3.见解析
(1)因为点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上，所以
＝S2n－1.
令n＝1，n＝2，得
即
解得a1＝1，d＝2(d＝－1舍去)，则an＝2n－1.
由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)，
得4(bn－bn＋1)(bn－1)＝(bn－1)2.
由题意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1，
即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以
所以数列{bn－1}是以1为首项，公比为
的等比数列．
(2)由(1)，得bn－1＝
n－1.cn＝
.
令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，
则Tn＝
＋
＋
＋…＋
＋
，①
Tn＝
＋
＋
＋…＋
＋
，②
①－②得，
Tn＝＋
＋
＋
＋…＋
－＝1＋·
－＝2－
－＝2－
.所以Tn＝3－.
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝3－<3.
＝S2n－1.令n＝1，n＝2，得
即解得a1＝1，d＝2(d＝－1舍去)，则an＝2n－1. 由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)，
得4(bn－bn＋1)(bn－1)＝(bn－1)2.
由题意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1，
即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以
所以数列{bn－1}是以1为首项，公比为
的等比数列．(2)由(1)，得bn－1＝
n－1.cn＝.令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，
则Tn＝
＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②得，
Tn＝＋＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－.所以Tn＝3－.所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝3－
<3.
练习册系列答案
相关题目
满足：
，且
，
．
；
a3,2a2成等差数列，则
等于( )．
＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则a2n＝________.