Question

3．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=8，求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析 画出图形，连接AB₁，交A₁B于O，从而找到∠AOB或其补角，便为异面直线A₁B与C₁D所成的角，根据已知的边长求出△AOB的三边长度，由余弦定理求出cos∠AOB即可．

解答 解：如图，连接AB₁，设交AB₁于O，则AB₁∥C₁D，∴∠AOB或其补角便是异面直线A₁B与C₁D所成的角；
AA₁=8，AB=4；
∴$A{B}_{1}={A}_{1}B=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}$；
∴在△AOB中，$AO=BO=2\sqrt{5}$，AB=4；
∴由余弦定理得：cos$∠AOB=\frac{20+20-16}{2•2\sqrt{5}•2\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$；
∴异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$．

点评 考查直角三角形边的关系，异面直线所成角的概念及其求法，余弦定理．