题目内容

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x．
（I）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点 $数学公式$ 对称，求实数a的最小值；
（II）若函数 $数学公式$ 上为减函数，试求实数b的值．

解：（I）由题意可得：f（x）= $\text{[math]}$ ），
将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到函数f（x）= $\text{[math]}$ ）的图象
∵函数y= $\text{[math]}$ ，0）对称，
所以 $\text{[math]}$ =kπ（k∈Z），即 $\text{[math]}$ ，（k∈Z）
因为a＞0，所以k＞ $\text{[math]}$
所以当k=1时，a有最小值 $\text{[math]}$ ．
（II）∵y= $\text{[math]}$ ）上为减函数，并且y= $\text{[math]}$ ]，k∈Z，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，
∵k∈Z∴k=0，
∴ $\text{[math]}$ ，
又因为b∈N^*，
所以b=1．
分析：（I）由题意可得：f（x）= $\text{[math]}$ ），平移a个单位长度后得到函数f（x）= $\text{[math]}$ ，根据对称性可得 $\text{[math]}$ =kπ，即可得到 $\text{[math]}$ 进而得到答案．
（II）根据正弦函数的性质可得：y= $\text{[math]}$ ]，结合题意可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，进而求出b的数值．
点评：本题主要考查正弦函数的有关性质，即对称性、单调性以及三角函数图象的平移变换．