题目内容
如图,已知椭圆C:
+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为
,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且
·
=0.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0.(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
(1) 
+y2=1 (2)见解析
+y2=1 (2)见解析(1)依题意有
⇒
故椭圆C的方程为:+y2=1.
(2)由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-
x+1(k≠0).
将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-
,
因此P的坐标为(-,-
+1),
即(-,
),
将上式中的k换成-,得Q(
,
).
直线l的方程为y=
(x-)+,化简得直线l的方程为y=
x-
,
因此直线l过定点N(0,-).
⇒故椭圆C的方程为:
+y2=1.(2)由
·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程
+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-
,因此P的坐标为(-
,-+1),即(-
,),将上式中的k换成-
,得Q(,).直线l的方程为y=
(x-)+,化简得直线l的方程为y=x-,因此直线l过定点N(0,-
).
练习册系列答案
相关题目
+
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
·
的取值范围;
:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
的方程； 
关于直线
的对称点为
，求
的取值范围；
交椭圆
，
，且
为圆心的圆上，求
的值.
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
是第一象限内该椭圆上的一点，
，求点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且
为锐角（其
为坐标原点），求直线
的取值范围.
的焦点为F，过F作直线交抛物线于A、B两点，设
则
（ ）
D．1
,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
＝1(a＞b＞0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4
.
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为4
.
＋
＝t
(O为坐标原点)，当|
－
|＜
时，求实数t的取值范围．