题目内容


.本小题满分15分)
如图,已知椭圆E,焦点为,双曲线G的顶点是该椭圆的焦点,设是双曲线G上异于顶点的任一点,直线与椭圆的交点分别为ABCD,已知三角形的周长等于,椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.

(1)求椭圆E与双曲线G的方程;
(2)设直线的斜率分别为,探求
的关系;
(3)是否存在常数,使得恒成立?
若存在,试求出的值;若不存在, 请说明理由.

(1)由题意知,椭圆中 
所以椭圆的标准方程为              …………2分
又顶点与焦点重合,所以;   
所以该双曲线的标准方程为。   …………4分 
(2)设点            
在双曲线上,所以          所以  …………8分
(3)设直线AB:    
由方程组    ………10分

所以        
由弦长公式   
同理       ………12分
代入得        ………13分
    
所以存在使得成立。   ………15分

解析

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