题目内容
.本小题满分15分)
如图,已知椭圆E:,焦点为、,双曲线G:的顶点是该椭圆的焦点,设是双曲线G上异于顶点的任一点,直线、与椭圆的交点分别为A、B和C、D,已知三角形的周长等于,椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.
(1)求椭圆E与双曲线G的方程;
(2)设直线、的斜率分别为和,探求
和的关系;
(3)是否存在常数,使得恒成立?
若存在,试求出的值;若不存在, 请说明理由.
(1)由题意知,椭圆中
所以椭圆的标准方程为 …………2分
又顶点与焦点重合,所以;
所以该双曲线的标准方程为。 …………4分
(2)设点
在双曲线上,所以 所以 …………8分
(3)设直线AB:
由方程组得 ………10分
设
所以
由弦长公式
同理 ………12分
由代入得 ………13分
所以存在使得成立。 ………15分
解析
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