题目内容

设函数f(x)=在[1+,∞上为增函数.  

    (1)求正实数a的取值范围.

    (2)若a=1,求征:(n∈N*且n≥2)

(1)a≥1

   (2)证明见解析


解析:

(1)由已知: =

   依题意得:≥0对x∈[1,+∞恒成立

   ∴ax-1≥0对x∈[1,+∞恒成立    ∴a-1≥0即:a≥1

   (2)∵a=1   ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞上为增函数,

   ∴n≥2时:f()=  

    即: 

    ∴

设g(x)=lnx-x  x∈[1,+∞, 则恒成立,

∴g′(x)在[1+∞为减函数

∴n≥2时:g()=ln<g(1)=-1<0 

即:ln<=1+(n≥2)

    ∴

综上所证:(n∈N*且≥2)成立.

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