Question

（2013•德州二模）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

（1）求证：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）求此几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）利用几何体的三视图，判断侧面BCC₁B₁是矩形，利用直线与平面平行的判定定理证明BC∥平面C₁B₁N；
（2）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB₁两两垂直．通过计算得出∠BNB₁ 为直角，从而有BN⊥B₁N，再根据线面垂直的判定，即可证明BN⊥平面C₁B₁N；
（3）连接CN，把几何体分割成一个三棱锥和一个四棱锥，即可求解．

解答：解：（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB₁两两互相垂直．
∵BC∥B₁C₁，B₁C₁?平面C₁B₁N，BC?平面C₁B₁N，
∴BC∥平面C₁B₁N…（4分）
（2）连BN，过N作NM⊥BB₁，垂足为M，
∵B₁C₁⊥平面ABB₁N，BN?平面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN，…（5分）
由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，
∴BN=

42+42

=4

2

，B₁N=

NM2+B1M2

=

42+42

=4

2

，…（6分）
∵BB₁=8²=64，B₁N²+BN²=32+32=64，
∴BN⊥B₁N，…（7分）
∵B₁C₁?平面B₁C₁N，B₁N?平面B₁C₁N，B₁N∩B₁C₁=B₁
∴BN⊥平面C₁B₁N        …（9分）
（3）连接CN，
V_C-BCN=

1

3

×BC•S_△ABN=

1

3

×4×

1

2

×4×4=

32

3

…（11分）
∴平面B₁C₁CB⊥ANB₁B=BB₁，NM⊥BB₁，NM?平面B₁C₁CB，
∴NM⊥平面B₁C₁CB，
V N-B1C1CB=

1

3

×NM•S 矩形B1C1CB=

1

3

×4×4×8=

128

3

…（13分）
此几何体的体积V=V_C-BCN+V N-B1C1CB=

32

3

+

64

3

=32；
V=V_C-BCN+V N-B1C1CB=

32

3

+

128

3

=

160

3

…（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、棱锥的体积等有关知识，考查空间想象能力和思维能力．