题目内容

14、函数y=f（x）为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，则f（4-x2）的单调递增区间为
（-∞，-2]，[0，2]
．
分析：先根据题意可求出函数f（x）的递减区间，然后令t=4-x2，进而可求出当t＞0时的x的范围，再结合函数t=4-x2的单调性可判断函数函数f（4-x2）在[0，2]上单调递增，同样道理可求出函数f（4-x2）的另一单调递增区间．
解答：解：∵函数y=f（x）为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增
令t=4-x2，则t=4-x2≥0时，-2≤x≤2，且函数t在x∈[-2，0]上单调递增，t在x∈[0，2]上单调递减
根据复合函数的同增异减可知：函数f（4-x2）在[0，2]上单调递增
同理可求出函数f（4-x2）在（-∞，-2]上单调递增
故答案为：（-∞，-2]，[0，2]．
点评：本题主要考查复合函数的单调性问题、奇偶性与单调性的综合问题．考查对基础知识的理解和运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
aa2-1
(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1
（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的实数m的取值集合；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．
已知函数y=f（x）的定义域为（-1，1），并且对一切x，y∈（-1，1）恒有f（x）+f（y）=f（x+y）；且当x＞0时，f（x）＜0；
（1）判断该函数的奇偶性；
（2）判断并证明该函数的单调性；
（3）若f（1-m）+f（1-m2）＞0，求实数m的取值范围．
已知定义域是全体实数的函数y=f（x）满足f（x+2π）=f（x），且函数g（x）=
f(x)+f(-x)
2
，函数h（x）=
f(x)-f(-x)
2
．现定义函数p（x），q（x）为：p（x）=
g(x)-g(x+π)
2cosx
(x≠kπ+
π
2
)
0         (x=kπ+
π
2
)
，q（x）=
h(x)+h(x+π)
2sin2x
(x≠
kπ
2
)
0      (x=
kπ
2
)
，其中k∈Z，那么下列关于p（x），q（x）叙述正确的是（　　）
（2006•宝山区二模）已知f（x）=
10x+a10x+1
是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 数 f-1（x），判断f-1（x）的奇偶性，并给予证明；
（3）若函数y=F（x）是以2为周期的奇函数，当x∈（-1，0）时，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）时F（x）的表达式．
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数y=f（x）是R上的单调性；
（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x2-2）+f（x）＜0，求x的取值范围．

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