Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=1，BD=PA=2．
（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，所求值即为$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{PC}$夹角的余弦值的绝对值，计算即可；
（2）所求值即为平面PAD的一个法向量与平面PCD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
又AD⊥AB，故分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
根据条件得AD=$\sqrt{3}$，
所以B（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），P（0，0，2）．
从而$\overrightarrow{BD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PC}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-2）．
设异面直线BD，PC所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{PC}$）＞|=$|\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{PC}|}|$=$|\frac{（-1，\sqrt{3}，0）•（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}，-2）}{2×\sqrt{\frac{19}{3}}}|$=$\frac{\sqrt{57}}{38}$，
即异面直线BD与PC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{57}}{38}$；
（2）∵AB⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0）．
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PC}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
得$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{2\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\\{\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=3，得$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$，3）．
设二面角A-PD-C的大小为φ，且为锐角，
则cosφ=cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{（1，0，0）•（2，2\sqrt{3}，3）}{1×5}$=$\frac{2}{5}$，
即二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意解题方法的积累，属于中档题．