Question

已知函数f(x)=ax3+

1

2

(sinθ)x2-2x+c的图象过点(1，

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6

)，且在[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f(x1)-f(x2)|≤

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2

恒成立，试问这样的m是否存在．若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可确定sinθ=1，a=

1

3

，再由f（1）=

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6

，即可求得f（x）的解析式；
（2）由导函数，确定f（x）的单调性．再进行分类讨论，利用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，即可求得结论．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+xsinθ-2，
由题设可知：

f′(1)=0 f′(-2)≤0

，即

3a+sinθ-2=0 12a-2sinθ-2≤0

，∴sinθ≥1，∴sinθ=1．
从而a=

1

3

，
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+c，而又由f（1）=

37

6

得c=

22

3

．
∴f（x）=3x³+2x²-2x+3即为所求．
（2）由f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数．
①当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增，故f（x）_max=f（m+3），f（x）_min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=3（m+3）³+2（m+3）²-2（m+3）-3m³-2m²+2m=3m²+12m+2≤2，
得-5≤m≤1．这与条件矛盾，故 不存在．
②当0≤m≤1时，f（x）在[m，1]上递增，在[1，m+3]上递增
∴f（x）_min=f（1），f（x）_max=max{ f（m），f（m+3）}，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+2=3（m+2）²-2＞0（0≤m≤1）
∴f（x）_max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=2恒成立．
故当0≤m≤1时，原不等式恒成立．
综上，存在m∈[0，1]合题意

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是利用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，属于中档题．