Question

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

Answer 1

（I）17.5；（Ⅱ）80千米/小时,11.25升.

解析试题分析：（I）将代入得到每小时的耗油量，再根据路程算出行驶时间，从而得到了从甲地到乙地的耗油量；（Ⅱ）设耗油量为升，通过每小时的耗油量及行驶时间得到的表达式.再通过求导研究其单调性，从而得到时的最小值.即得当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
试题解析：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得，令，得．
当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．
因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.    13分
考点：1.函数的单调性；2.利用导数研究函数单调性；3.函数的最值.