Question

（本小题满分12分

如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析。

（Ⅱ）

（Ⅲ）

解析:

方法一（综合法）

  （1）取OB中点E，连接ME，NE

又

           

  （2）

       为异面直线与所成的角（或其补角）

                  作连接

                 

                 

                ，

                所以 与所成角的大小为

         （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

 于点Q，

              又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

                ，

                ，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)设与所成的角为,

   , 与所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

       由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为