题目内容
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
+
=1上两个不同的点，F是椭圆的右焦点，且|FA|+|FB|=
．
（1）求线段AB的中点M的横坐标；
（2）设A、B两点关于直线y=kx+m对称，求k的取值范围．
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| 18 |
| 5 |
（1）求线段AB的中点M的横坐标；
（2）设A、B两点关于直线y=kx+m对称，求k的取值范围．
分析：（1）根据已知中的椭圆方程可求出椭圆的离心率，进而根据椭圆的焦半径公式，可求出线段AB的中点M的横坐标；
（2）将A，B两点坐标代入椭圆方程，利用点差法，结合M点在椭圆内部，可求出k的取值范围
（2）将A，B两点坐标代入椭圆方程，利用点差法，结合M点在椭圆内部，可求出k的取值范围
解答：解：（1）椭圆
+
=1
a=5，b=3，则c=4
∴椭圆的离心率e=
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
+
=1上两个不同的点，
F是椭圆的右焦点，|FA|+|FB|=
∴（5-
x1）+（5-
x2）=
即x1+x2=8
故线段AB的中点M的横坐标为4
（2）∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
+
=1上两个不同的点，
∴
两式相减得
（x1+x2）（x1-x2）+
（y1+y2）（y1-y2）=0
由（1）得
（x1-x2）+2•
（y1-y2）=0
①当x1≠x2时，kAB=
=
=-
∵A、B两点关于直线y=kx+m对称，
∴kAB=-
∴yM=
k
∵M点椭圆内部，
∴
+
＜1
解得-
＜k＜
②当x1=x2时，AB与x轴垂直，此时k=0
综上所述，k的取值范围为（-
，
）
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
a=5，b=3，则c=4
∴椭圆的离心率e=
| 4 |
| 5 |
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
F是椭圆的右焦点，|FA|+|FB|=
| 18 |
| 5 |
∴（5-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
即x1+x2=8
故线段AB的中点M的横坐标为4
（2）∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
∴
|
两式相减得
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 9 |
由（1）得
| 8 |
| 25 |
| yM |
| 9 |
①当x1≠x2时，kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
-
| ||
|
| 36 |
| 25yM |
∵A、B两点关于直线y=kx+m对称，
∴kAB=-
| 1 |
| k |
∴yM=
| 36 |
| 25 |
∵M点椭圆内部，
∴
| 16 |
| 25 |
(
| ||
| 9 |
解得-
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
②当x1=x2时，AB与x轴垂直，此时k=0
综上所述，k的取值范围为（-
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．
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