Question

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先利用偶函数的定义把f（ax+1）≤f（x-2）?f（|ax+1|）≤f（|x-2|），再利用其单调性转化为|ax+1|≤|x-2|；对其两边平方整理后利用分类讨论的方法分别求出实数a的取值范围最后综合即可．

解答：解：因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[

1

2

，1]上恒成立?f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在x∈[

1

2

，1]上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x-2|在x∈[

1

2

，1]上恒成立?（a²-1）x²+2（a+2）x-3≤0  ②在x∈[

1

2

，1]上恒成立．
a=1时，②转化为2x-1≤0?x≤

1

2

不符合，舍去；
a=-1时，②转化为2x-3≤0?x≤

3

2

成立；
|a|＞1时，得a²-1＞0，②转化为

(a2-1)×( 1 2 )2 +2(a+2)× 1 2 -3≤0 (a2-1)×1+2(a+2)-3≤0

，

-5≤a≤1 -2≤a≤0

?-2≤a≤0且a≠-1．
∵|a|≥1
综上得：实数a的取值范围为[-2，-1]．
故答案为[-2，-1]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性．在偶函数的定义应用中，因为其在关于原点对称的区间上单调性相反，所以在作题过程中，一般是利用f（x）=f（-x）=f（|x|）把变量转化到同一个单调区间内．