题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；
（2）当
时，求证：
；
（3）若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）
.
【解析】试题分析: （1）先由导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程，（2）构造差函数：
，再利用导数求其最小值
，即得证，（3）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为求对应函数最值问题：
，其中
，再利用导数求其最小值
，可得实数
的取值范围．
试题解析:（1）
，
，
∴
，
又切点坐标为
，故所求切线方程为
（2）令
，
令
，得
，
∴当
时，
，
单调递减；
当
时，
，单调递增
∴，从而
.
（3）
对任意的恒成立
对任意的恒成立
令
，
∴
由（2）可知当时，
恒成立，
令
，得
；
，得
∴
的增区间为
，减区间为
，
∴
∴实数的取值范围是
.
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