Question

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的特征可得当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的条件可得a、b与c的关系进而得到答案．
（II）设点P的坐标为（x₀，y₀），由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2），可得点D与BD中点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，进而表示出点P的坐标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线PF的距离等于直径BD的一半，进而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，F（c，0）．
由题意知

1 2 • 2a•b=2 3 a=2 a2=b2+c2

解得b=

3

，c=1．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率为

1

2

．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．
因为点F坐标为（1，0），
当k=±

1

2

时，点P的坐标为(1，±

3

2

)，点D的坐标为（2，±2）．
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y±1）²=1与直线PF相切．
当k≠±

1

2

时，则直线PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直线PF的方程为y=

4k

1-4k2

(x-1)．
点E到直线PF的距离d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因为|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|．
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中有关数值的关系，以及椭圆与直线的位置关系、圆与直线的位置关系．