题目内容

已知函数f(x)=(a-1)ln(ex+a2-a-2)(a为常数)是实数集R上的增函数,对任意的x∈R,有f(x)+f(-x)=0,函数,函数g(x)=ln[f(x)+1].
(1)求实数a的值;
(2)若对任意的x>0,g(x)<px恒成立,求实数p的取值范围;
(3)求证:当n∈N*时,g(n)<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
分析:(1)由“f(x)对任意的x∈R,都有f(x)+f(-x)=0”得f(x)是R上的奇函数求解a,再由“函数f(x)是实数集R上的增函数”验证.
(2)结合(1)将“任意的x>0,g(x)<px恒成立”转化为:h(x)=g(x)-px=ln(x+1)-px<0,x>0恒成立,只要求得h(x)的最大值即可.
(3)观察其结构,我们可以先探究一下,g(1)<1,即,ln(1+1)<1,ln(
1
2
+1)<
1
2
,依此类推,我们可以有ln(
1
x
+1
1
x
,成立,再用累加法求解.
解答:解:(1)∵f(x)对任意的x∈R,都有f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=(a-1)ln(1+a2-a-2)=0
即a2-a-2=0或a-1=0
∴a=-1或a=2或a=1,
∵f(x)是实数集R上的增函数,
∴a=2.
(2)由(1)知f(x)=x,函数g(x)=ln[f(x)+1]=ln(x+1),
设h(x)=g(x)-px=ln(x+1)-px(x>0),
则g(x)<px恒成立?h(x)<0恒成立,
又h′(x)=
1
x+1
-p
(x>0)
①若p≥1,则h′(x)=
1
x+1
-p< 0
,h(x)在(0,+∞)上是减函数,
因此h(x)<h(0)=0恒成立,
②若p∈(0,1),则令h′(x)=0,解得x=
1-p
p

当x∈(0,
1-p
p
)是,h(x)>0,h(x)单调递增,不成立
故实数p的取值范围[1,+∞)
(3)证明:由第(2)小题可知,
当p=1时,ln(x+1)<x(x>0)恒成立,
故当x>0,ln(
1
x
+1
1
x
也恒成立,
∴ln2<1,ln
3
2
1
2
,ln
4
3
1
3
,,ln
n+1
n
1
n

将各不等式相加得
ln
2
1
+ln
3
2
+ln
4
3
+
…+ln
n
n-1
+ln 
n+1
n
<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

故g(n)<1+
1
2
1
3
+
+
1
n
点评:本题主要考查函数的奇偶性和单调性,同时还考查了验证的思想,转化的思想以及知识方法迁移的能力.
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