Question

17．已知集合M={f（x）|当x∈[0，4]时，|f（x）|≤2恒成立}，若f（x）是定义在区间[-4，4]上的奇函数，f（4）=0且对任何实数，x₁，x₂∈[-4，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求证：f（x）∈M．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出函数的最值关系，即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义在区间[-4，4]上的奇函数，f（4）=0且对任何实数，x₁，x₂∈[-4，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤2|f（x）|_max，
则当x∈[0，4]时，2|f（x）|_max≤|x₁-x₂|=4，
即|f（x）|_max≤2，
即f（x）∈M．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，结合函数奇偶性的对称性是解决本题的关键．