Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0且bc≠0).

(1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解析式;

(2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为l,且0＜l≤2,试确定c-b的符号.

Answer 1

剖析:对于(1),条件|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1给出了a、b、c间的关系,对它们进行分析、变形可求出a、b、c的值;对于(2),条件g(1)=0给出了a、b间的关系,条件0＜l≤2可给出a、c间的关系,而a＞0,故c-b的符号可判断.

解:(1)由已知|f(1)|=|f(-1)|,有|a+b+c|=|a-b+c|,得(a+b+c)²=(a-b+c)².

    可得4b(a+c)=0.

    因为bc≠0,所以b≠0.

    所以a+c=0.

    又由a＞0,有c＜0.

    因为|c|=1,所以c=-1,a=1,|b|=1.

    所以f(x)=x²±x-1.

    (2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0,有2a+b=0,b＜0.

    设方程f(x)=0的两根为x₁、x₂,则x₁+x₂=-=2,x₁·x₂=.

    所以|x₁-x₂|=.

    由已知0＜|x₁-x₂|≤2,所以0≤＜1.

    又因为a＞0,bc≠0,

    所以c＞0.所以c-b＞0.

讲评:题目的条件由绝对值给出,给题目的解答带来了一定难度.解题过程中,要注意变量的取值范围,这一点正是处理函数问题要注意的.