Question

【题目】AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2 km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．

（1）求此曲边三角形地块的面积；
（2）求科技园区面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示；

则A（0，0），C（0，8），

设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），

则点B（2，4a），

又|BC|= =2 ，

解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；

∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；

又 x2= x3 = ，

∴此曲边三角形ABC地块的面积为

S梯形ACBM﹣ x2= ×（8+4）×2﹣ = ；

（2）解：设点D（x，x2），则F（0，x2），

直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，

∴E（x，8﹣2x），

|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，

直角梯形CEDF的面积为

S（x）= x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），

求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，

令S′（x）=0，解得x= 或x=﹣2（不合题意，舍去）；

当x∈（0， ）时，S（x）单调递增，

x∈（ ，2）时，S（x）单调递减，

∴x= 时，S（x）取得最大值是

S（ ）=﹣ ﹣ +8× = ；

∴科技园区面积S的最大值为 ．

【解析】（1）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积；（2）设出点D为（x，x2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．
【考点精析】利用扇形面积公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．