题目内容

设幂函数f(x)=(a-1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点(
2
,2).
(1)求a,k的值;
(2)若函数h(x)=-f(x)+2b
f(x)
+1-b
在[0,1]上的最大值为2,求实数b的值.
分析:(1)由幂函数的定义知a-1=1,由f(x)=(a-1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点(
2
,2),知(
2
)
k
=2
,由此能求出a,k.
(2)由(1)知f(x)=x2,由h(x)=-f(x)+2b
f(x)
+1-b
,知h(x)=-x2+2bx+1-b=-(x-b)2+b2-b+1,x∈[0,1],再由分类讨论思想能求出实数b的值.
解答:解:(1)∵幂函数f(x)=(a-1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点(
2
,2),
∴a-1=1,a=2.
(
2
)
k
=2
,∴k=2.
(2)由(1)知f(x)=x2
h(x)=-f(x)+2b
f(x)
+1-b

∴h(x)=-x2+2bx+1-b=-(x-b)2+b2-b+1,x∈[0,1],
当b≥1时,hmax=h(1)=b=2,
当0<b<1时,hmax=h(b)=b2-b+1=2,
∴b=
5
2
(舍).
当b≤0时,
hmax=h(0)=1-b=2,
∴b=-1.
综上:b=2或b=-1.
点评:本题考查幂函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意配方法和分类讨论思想的灵活运用.
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