Question

14．下列命题成立的是（　　）

• A． ?x₀∈（0，$\frac{π}{4}$），使得sinx₀cosx₀=$\frac{1}{2}$
• B． ?x∈[0，$\frac{π}{4}$]，都有sinx+cosx＜$\sqrt{2}$
• C． ?x₀∈（$\frac{π}{2}$，π），使得sinx₀-cosx₀=1
• D． ?x∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，都有sin²x≤cos²x

Answer 1

分析 对四个选项，分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：对于A，sinx₀cosx₀=$\frac{1}{2}$sin2x₀，∵x₀∈（0，$\frac{π}{4}$），∴2x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx₀cosx₀∈（0，$\frac{1}{2}$），故不正确；
对于B，由A，可得sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]，故不正确；
对于C，sinx₀-cosx₀=$\sqrt{2}$sin（x₀-$\frac{π}{4}$），∵x₀∈（$\frac{π}{2}$，π），∴x₀-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{4}$π），∴sinx₀-cosx₀∈（1，$\sqrt{2}$]，故不正确；
对于D，sin²x-cos²x=-cos2x，∵x∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴2x∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]，∴sin²x-cos²x=-cos2x≤0，
∴sin²x≤cos²x，正确．
故选：D．

点评 本题考查特称命题、存在性命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．