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已知向量
a
=(sin(π-x),1)
,
b
=(cos(-x),
1
3
)
.
(1)若
a
∥
b
,求tanx;
(2)若f(x)=
a
•
b
,求f(x)的最小正周期及f(x)的值域.
试题答案
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分析:
(1)利用向量共线的条件,可得
1
3
sinx=cosx
,利用商数关系,可求tanx;
(2)利用向量数量积公式,求出函数解析式,从而可求f(x)的最小正周期及f(x)的值域.
解答:
解:(1)∵向量
a
=(sin(π-x),1)
,
b
=(cos(-x),
1
3
)
,
a
∥
b
,
∴
1
3
sin(π-x)=cos(-x)
…(2分)
∴
1
3
sinx=cosx
,…(4分)
故tanx=
sinx
cosx
=3,…(6分)
(2)f(x)=
a
•
b
=sinxcosx+
1
3
=
1
2
sin2x+
1
3
(8分)
∴f(x)的最小正周期为T=
2π
2
=π (9分)
∵-1≤sin2x≤1
∴f(x)
min
=-
1
2
+
1
3
=-
1
6
,f(x)
max
=
1
2
+
1
3
=
5
6
(11分)
∴f(x)的值域为[-
1
6
,
5
6
](12分)
点评:
本题考查向量共线的条件,考查向量数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
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已知向量
a
=(sinθ,
3
)
,
b
=(1,cosθ)
,
θ∈(-
π
2
,
π
2
)
.
(1)若
a
⊥
b
,求θ;
(2)求
|
a
+
b
|
的最大值.
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1),
b
=(
2
,2)
且
f(x)=
a
•
b
+2
(1)求f(x)的表达式.
(2)用“五点作图法”画出函数f(x)在一个周期上的图象.
(3)写出f(x)在[-π,π]上的单调递减区间.
(4)设关于x的方程f(x)=m在x∈[-π,π]上的根为x
1
,x
2
且
m∈(1,
2
)
,求x
1
+x
2
的值.
已知向量
a
=(sinθ,-2),
b
=(1,cosθ)
,且
a
⊥
b
,则sin2θ+cos
2
θ的值为( )
A.1
B.2
C.
1
2
D.3
已知向量
a
=(sinθ,1),
b
=(1,cosθ),θ∈(-
π
2
,
π
2
)
.
(1)若
a
⊥
b
,求θ的值;
(2)若已知
sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)
,利用此结论求|
a
+
b
|的最大值.
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1)
,
b
=(2,2)
且
f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间的图象.
②求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
③求函数f(x)的最大值,并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
⑤当x∈[0,π],求函数
y=2sin(x-
π
4
)
的值域
解:(1)列表
(2)作图
关 闭
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