题目内容

(本小题满分12分)已知函数是偶函数.

(1)求k的值;

(2)若方程有解,求m的取值范围.

 

【答案】

(1)k=-

(2)m的取值范围为m≥

【解析】解:(1)由f(x)是偶函数,则f(1)-f(-1)=0,

?     即log4(4+1)+k=log4(4-1+1)-k,

得k=-.…………………………………………………………………………………… 2分

此时,f(x)=log4(4x+1)- x,

f (-x)=log4(4-x+1)+x=log4+x=log4(4x+1)- x=f(x)

即f(x)为偶函数.…………………………………………………………………………6分

或由于函数f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),

?      即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx  ……………………………………………………………… 2分

∴log4=-2kx,∴log44x=-2kx,∴ x=-2kx对一切x恒成立.

∴k=-.……………………………………………………………………………………6分

(2)由f(x)=log4(4x+1)- x=log4=log4(2x+)………………………………8分

∵2x+≥2,∴ f(x)≥.………………………………………………………………10分

∴ m≥

∴ 要使方程f(x)-m=0有解,m的取值范围为m≥………………………………12分

 

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