题目内容
(本小题满分12分)已知函数是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程有解,求m的取值范围.
【答案】
(1)k=-
(2)m的取值范围为m≥
【解析】解:(1)由f(x)是偶函数,则f(1)-f(-1)=0,
? 即log4(4+1)+k=log4(4-1+1)-k,
得k=-.…………………………………………………………………………………… 2分
此时,f(x)=log4(4x+1)- x,
f (-x)=log4(4-x+1)+x=log4+x=log4(4x+1)- x=f(x)
即f(x)为偶函数.…………………………………………………………………………6分
或由于函数f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
? 即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx ……………………………………………………………… 2分
∴log4=-2kx,∴log44x=-2kx,∴ x=-2kx对一切x恒成立.
∴k=-.……………………………………………………………………………………6分
(2)由f(x)=log4(4x+1)- x=log4=log4(2x+)………………………………8分
∵2x+≥2,∴ f(x)≥.………………………………………………………………10分
∴ m≥
∴ 要使方程f(x)-m=0有解,m的取值范围为m≥………………………………12分
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